Imagine a seguinte propaganda: "Compre minha DICA de INVESTIMENTO e DOBRE a sua RENDA em um único TRADE! Entre no meu CLUBE PREMIUM do TELEGRAM e pague apenas 100 BRL por DICA"

Será que esse vendedor tem êxito em 50% nas dicas de trades que dá? Vamos supor que sim...

Suponha que os leitores desse vendedor tenham a seguinte função utilidade:

\[ u(w)= \begin{cases} \frac{w^{1-\gamma}}{1-\gamma} & \text{se } \gamma \neq 1,\\ \log (w) & \text{se } \gamma=1, \end{cases} \]

no qual \(\gamma\) é o coeficiente de aversão ao risco relativo e \(w\) é a riqueza do investidor. Temos duas condições na função acima: \(\gamma\neq1\) e \(\gamma=1\). Inicialmente, vamos trabalhar na primeira condição:

def uw1(w,g):
    return(w ** (1 - g) / (1 - g))

Considere o seguinte TRADE:

\[ \begin{cases} 0, & \text { com probabilidade } & \pi_1=0.5,\\ 1.000, & \text { com probabilidade } & \pi_2=0.5, \end{cases} \]

Vamos supor também que a pessoa que está lendo essa propaganda tenha 1.000 BRL na poupança.

Qual é a quantia que essa pessoa está disposta a pagar por essa DICA de investimento (CE) ?

\(\gamma\neq1\)

$$ \frac{(w+C E)^{1-\gamma}}{1-\gamma}=0.5\cdot\frac{(w+0)^{1-\gamma}}{1-\gamma}+0.5\cdot\frac{(w+1.000)^{1-\gamma}}{1-\gamma}, $$

$$ CE=(1-\gamma)\bigg[0.5\cdot\frac{(w+0)^{1-\gamma}}{1-\gamma}+0.5\cdot\frac{(w+1.000)^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg]^{\frac{1}{1-\gamma}}-w. $$

Vamos calcular a função quando g = 1, isto é, a segunda condição na função utilidade:

\(\gamma=1\)

$$ \log (w+CE)=0.5 \log (w+0)+0.5 \log (w+1.000), $$ $$ CE=e^{\log 0.5 \log (w+0)+0.5 \log (w+1.000)}-w . $$

import numpy as np

def CE(p1,w0,w1,w2,g):
    w1 = w1 + w0
    w2 = w2 + w0
    if(g == 1):
        return(np.exp(p1 * np.log(w1) + (1 - p1) * np.log(w2)) - w0)
    else:
        return(((1 - g) * (p1 * uw1(w=w1,g=g) + (1 - p1) * uw1(w=w2,g=g))) ** ( 1 / (1 - g)) - w0)

Na função acima, w0 é a quantia que a pessoa tem na poupança, w2 é o quanto ele ganha se o trade der certo e w1 caso contrário.

Vamos supor que essa pessoa seja muito desconfiada (muito avessa ao risco). Quanto estaria disposta a pagar por essa DICA de INVESTIMENTO ? (g = 100)

CE(p1 = 0.5, w0 = 1000, w1 = 0, w2 = 1000, g = 100)
7.026054383499513

Essa pessoa pagaria 7,03 BRL por essa DICA. É Justo ? Não sei, só sei que NÃO entraria no CLUBE PREMIUM do TELEGRAM...

Agora, e se a pessoa gosta de correr risco e acreditou na lábia do vendedor, quanto estaria disposta a pagar por essa DICA de INVESTIMENTO quentíssima?

A pessoa poderia pensar "Imagina, tenho 1.000 na poupança, ficaria com 2.000 sem fazer esforço praticamente..." (g = 1)

CE(p1 = 0.5, w0 = 1000, w1 = 0, w2 = 1000, g = 1)
414.2135623730949

Essa pessoa pagaria 414.21 BRL por essa DICA. Tem gente que paga ?? Talvez...

No final das contas, quem sempre ganha é o vendedor dos TRADES.